آرمان جاویدان

علی قدیمی

حساب دیفرانسیل و انتگرال ، یکی از مهمترین مفاهیم و البته کشفیات ریاضیات در تاریخ است ، شاید بی‌راه نباشد که بگوییم ، بیشتر پیشرفت‌های دانشی بشر در کرانه ۳۵۰ سال اخیر ، به شکلی به حساب دیفرانسیل و انتگرال بربسته است.

اگر هندسه را دانش بررسی اشکال بدانیم ، جبر را بررسی اعداد و یافتن قوانین همگانی در حساب بدانیم ، دیفرانسیل و انتگرال را هم می‌توان دانش بررسی جنبیدن مداوم اجسام دانست . هرجا جنبیدنی هست ، از جنبیدن مولکولی ، تا جنبیدن سیارات ، پای حساب دیفرانسیل و انتگرال میان می‌آید . زندگی بدون جنبیدن ، تندی ، افزایش ، کاهش و هرگونه تغییری مفهومی ندارد و راه اندازه گیری و درک این جنبیدن ها ، بدون حساب دیفرانسیل و انتگرال نشدنی است.

انتگرال چیست؟

گمان کنید می‌خواهید بدانید برای پر کردن یک استخر چه اندازه آب نیاز دارید . اگر ژرفای استخر شما ثابت باشد ، یعنی بخش کم ژرفا و ژرف نداشته باشد ، با ضرب درازا و پهنا و ژرفا ، پاسخ پرسشتان را می یابید (همچون پیدا کردن گنجایش یک مکعب مربع). اما اگر کف استخر شما ، با حالتی کمان دار از ژرفای کم  به ژرفا برود ، آنگاه ، محاسبه گنجایش باریک آن با ضرب و بخش شدنی نیست و بدون محاسبه هم ساختنش ایمن نیست ، چون باید بدانید که چه اندازه آب می خواهد در استخر باشد و چه وزنی خواهد داشت و چه اندازه باید کف و دیوارهای استخر را پایدار کنید. محاسبه گنجایش آب چنین استخری ، تنها با انتگرال شدنی است . انتگرال اینجور کار می‌کند که استخر را به برش‌های نازکی بخش می‌کند . گنجایش هر برش ، برابر است با درازا (اینجا ژرفای استخر) ضرب در پهنا (اینجا پهنای استخر) و کلفتی برش (که بسیار کم است). با کم کردن کلفتی این برش‌ها  می‌توان استخر را به هزاران برش کوچک بخش کرد ، کنون دیگر اندازه گرفتن گنجایش این برش‌های کوچک آسان است و با انباشت آنها با هم ، گنجایش همه استخر به دست می‌آید . هرچه برش‌ها نازک تر باشند ، محاسبه باریک‌تر است.

اگر نمونه استخر برایتان نامفهوم است یک رول بزرگ کالباس را تجسم کنید . شبیه استوانه است و محاسبه حجم استوانه آسان است ، اما سر و ته کالباس باریک می‌شود و شاید حتی شکل متقارنی هم نداشته باشد . برای محاسبه گنجایش این رول کالباس ، بسنده است آن را برگه برگه کنید . سپس گنجایش برگه ها را اندازه بگیرید (هرکدام یک پرهون است با کلفتی بسیار کم همچون چند میلیمتر ، مانند یک استوانه بسیار کم ژرفا) سپس گنجایش همه این برگه ها را باهم انباشت کنید . حاصل گنجایش کل رول کالباس شما است . انتگرال همین کار را می‌کند ،‌ البته بدون نیاز به چاقو ، تنها با خامه و کاغذ و البته این روزها کامپیوتر. با محاسبه گنجایش برگه های نازک کالباس و انباشت آنها باهم می‌توان گنجایش رول کالباس را پیدا کرد . این همان ایده انتگرال است!

داستان انتگرال در تاریخ ریاضیات ، در آغاز با پرسشی ساده آغاز شد . چطور می‌شود شیب یک خط را اندازه گرفت؟ امروز شما می‌توانید به آسانی ، شیب یک خیابان را اندازه بگیرید . بسنده است بدانید که برای هر گامی که به جلو برمی‌دارید، چه اندازه بالا می‌روید . نمونه وار اگر در یک خیابان ، هر یک متر که جلو می‌روید ، بلندایتان از سطح زمین نیم متر بالا برود ، می‌توانید بگویید که شیب این خیابان نیم (یک دوم) است. در اینجا افزایش بلندی یعنی (نیم متر) را بر درازای مسیری که پیموده‌اید (یک متر) بخش کرده‌ایم (البته چنین خیابانی در جهان راستین بیش از حد سر بالایی است! )

این مفهوم را نخستین بار کرانه ۳۷۰ سال پیش ، رنه دکارت ، ریاضیدان فرانسوی شناساند و فرمول بندی کرد . اما همان زمان، پرسش مهمی مطرح شد ، اگر خیابان شما ، بجای یک خط هموار ، یک منحنی باشد ، شیب آن خیابان ، نه در کل مسیر ، که در نقطه‌ای که شما – نمونه وار در میانه خیابان - ایستاده‌اید چه اندازه است؟ تلاش برای یافتن پاسخ این پرسش، سرانجام  به کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال و البته دعوای نامدار دو ریاضیدان ، ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ختم شد.

زایش حسابان ، پیوند جنبیدن ، با جبر و هندسه

پیر دو فرما ریاضی‌دان دیگر فرانسوی همزمان با دکارت ، ازجمله روی مفاهیم همسانی - خط مماس و شیب خط - کار می‌کرد . اما سرانجام در سال ۱۶۸۴ میلادی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس گفتاری چاپ کرد که از آن همچون زایش حسابان (Calculus) یاد می‌شود . پالیده عنوان دراز این گفتار انقلابی ،‌ چنین بود: "روشی نوین در محاسبه بیشینه (ماکزیمم) و کمینه (مینیمم) و خط مماس". برای آنکه سنجه ای برای دیرینگی این مفهوم داشته باشید در نگر بگیرید که هنگامی که این گفتار پراکنده شد ، ایران در روزگار صفویه بود. لایبنیتس در این گفتار کامیاب شده بود با روش‌های جبری و با به کارگیری مفهوم "اندازه بی‌نهایت کوچک" یا (Infinitesimal) شیب خط مماس بر یک منحنی را به صورت باریک و به دیسه ای که به اصطلاح "مو لای درزش نمی‌رفت" محاسبه کند . او همچنین کامیاب شده بود، با بخشبندی سطح زیر یک نمودار به بخش‌های بی‌نهایت کوچک و انباشتن آنها باهم ، سطح زیر نمودار یک تابع را با باریکی محاسبه کند. لایبنیتس همچنین دو مفهوم به ترتیب دیفرانسیل و انتگرال را با "هنجار اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال" بهم ارتباط داد و آن را سامانمند کرد.

کامناکام پراکنده شدن این گفتار ،  نیوتون را به سختی خشمگین کرد . او پِشیماری(ادعا) می‌کرد که پیش از لایبنیتس، دیفرانسیل و انتگرال را آشکار کرده است و دستاورد پژوهش هایش دزدیده شده است . پژوهش هایی که در دوران مدرن انجام شده است ، به این باور همگانی رسیده است که هر دو دانشمند ، جداسر و همزمان ایده دیفرانسیل و انتگرال را آشکار کرده‌اند ، اما آنچه ما امروز به کار می گیریم ، روش نوشتن و نشانه‌های لایبنیتس است.

هنجار تباری حساب دیفرانسیل و انتگرال ، یکی از کرامندترین(مهمترین) مفاهیم ریاضی است که به زبان ساده نشان می‌دهد ، مشتق تابعی که سطح زیر یک نمودار را در یک بازه مشخص نشان می‌دهد ، برابر با اندازه آن تابع در نقطه انتهایی تابع است و به این ترتیب رابطه‌ای میان دیفرنسیال و انتگرال ایجاد می‌کند.

در سال ۱۸۶۸  برنهارت ریمان ریاضیدان آلمانی ، نخستین مفهوم باریک ریاضی انتگرال را نمود . در سال‌هایپس از آن، به ویژه در سالهای آغازه بیستم ، محاسبه انتگرال ، پیشرفت‌های پروا پذیری یافت . برای نمونه هنری لبگ ، روشی را برای انتگرال گیری از توابع غیر مشتق پذیر و منفی را شناساند که یکی از سنگ بناهای حسابان تصادفی  Stochastic calculus شد ، که به گسترش فیزیک (با کارهای آلبرت انیشتین) و کارهای انقلابی کیوشی ایتو ، ریاضیدان ژاپنی در گشترش دانش های مالی کمک کرد.

انتگرال به چه درد زندگی می‌خورد؟

انتگرال در زندگی روزمره به کار نمی آید . شما هرگز برای گذران زندگی خود نیازی به گرفتن انتگرال ندارید و البته به بسیاری از مفاهیم ناگریز ساده‌تر هم که در کتاب‌های ریاضیات دوران راهنمایی یا بالاتر آمده نیازی ندارید . نمونه وار مفهوم بردار ، یا حتی گرفتن جذر یک عدد ، در زندگی روزمره آنچنان به کار نمی‌آیند. اما آنچه در دوران دبیرستان و پیش دانشگاهی به عنوان ریاضیات آموزانده می‌شود ، دیباچه ای برای اندر شدن به دانشگاه است . حساب دیفرانسیل و انتگرال نشان می‌دهد که چطور کرانه چهار سده پیش ، دانشمندانی با خامه و کاغذ ، ایده‌های ساده هندسه و جبر را آمیختند و افزاری ساختند که با آن می‌توان تندی جنبیدن سیارات را اندازه گرفت.